|
Xavier Hubaut, professeur émérite -
Université Libre de Bruxelles
Xavier Hubaut - Professeur émérite de
l'Université Libre de Bruxelles
Bison futé et les bouchons
Les vacances
approchent et avec elles les traditionnels "bouchons".
Voila une réalité tout à fait concrète qui se prête à mathématisation.
Comme dans tout modèle, la réalité est tellement complexe qu'il faudra
faire quelques hypothèses simplificatrices (dont certaines pourraient
éventuellement être levées par après).
Nous supposerons donc que toutes les voitures sont pareilles, roulent à
vitesse constante et à distance constante. Schématiquement voici la
situation:
Quels sont les problèmes ?
Tout d'abord on veut avoir un
débit
maximum, c'est-à-dire que le plus grand nombre possible de voitures
s'évacuent.
Une manière de faire est de rouler très vite. Mais alors le risque de
collision augmente. Il faut donc réserver une distance suffisante entre
deux voitures consécutives.
Si les voitures roulent très lentement, cette distance pourra être fort
courte, mais comme la vitesse est faible peu de voitures s'écouleront.
Donc il faut augmenter la vitesse des voitures, mais alors augmenter la
distance entre elles. On voit qui si on augmente trop la vitesse, comme
la distance de sécurité augmente encore plus, en fin de compte le
débit se
ralentira. Il s'agit de trouver la vitesse optimale.
Mettons tout cela en forme.
Appelons v (en km/h) la vitesse des voitures, l (en m) la
longueur d'une voiture et L(en m) la distance entre les arrières
de deux voitures consécutives.
A ces variables il faudra encore ajouter D, le
débit, et
t, le temps de réflexe nécessaire pour freiner.
Qu'est-ce que le
débit D ? C'est le nombre de voitures qui franchissent une
ligne fixe dans un intervalle de temps T (généralement mesuré en
heures). La première voiture roule à une vitesse
v et parcourt donc pendant
le temps T heures la distance de v.T km; comme les
voitures se suivent à une distance L (en m) et au bout de T
heures il y aura v.T km/L m = 1000v.T/L
voitures qui seront passées. Notons D le
débit D par
heure; il est donc proportionnel à v/L; D = Cv/L.
Nous ne pouvons évidemment pas jouer sur la longueur l des voitures,
mais bien la distance L entre voitures. Toutefois cette distance
ne peut être inférieure à la distance de sécurité nécessaire pour le
freinage.
Un freinage efficace doit pouvoir immobiliser le véhicule, c'est-à-dire
annuler son énergie cinétique. On sait que l'énergie cinétique vaut mv2/2
et donc la distance de sécurité contiendra une partie proportionnelle au
carré de la vitesse.
Quelle sera cette distance de freinage ?
A la partie proportionnelle au carré de la vitesse il faudra ajouter la
distance parcourue suite au temps de réaction. Cette distance devra être
inférieure à L -l afin de ne pas heurter, avec l'avant, l'arrière
du véhicule précédent.
Cette distance vaut Kv2 + tv et doit être
inférieure ou égale à L-l.
On a donc (au mieux !) Kv2 + tv + l = L
Mais on sait que le
débit D vaut Cv/L
Il vient donc:
D =
Cv/(Kv2 + tv + l)
Comment optimiser les choses ?
Pour qui connaît les dérivées les choses sont simples: on recherche le
maximum de D fonction de v. On trouvera ainsi la vitesse
optimale vopt et le
débit maximum
Dmax.
Annulons la dérivée première et nous obtenons: v2 = l/K.
Comme la vitesse est positive vopt =  (l/K).
Si nous ne connaissons pas les dérivées, réfléchissons un instant.
Comment varie la fonction D ? Ou plus simplement comment varie 1/D ?
1/D
= (Kv2 + tv + l)/Cv
ou encore, en effectuant la division
1/D
= Kv/C + t/C + l/Cv
C'est donc la somme d'une fonction linéaire (Kv + t)/C et
d'une fonction inverse l/Cv.
Représentons graphiquement en bleu une droite (de pente et d'ordonnée à
l'origine positives) et une hyperbole.
L'allure de la fonction 1/D correspond donc schématiquement à la
courbe tracée en rouge.
Celle de D est représentée par celle dessinée en vert.
Il y aura donc bien un
débit maximum
correspondant à une valeur optimale de la vitesse.
Au lieu de nous entêter à calculer la valeur du
débit D,
nous pouvons plutôt nous intéresser à la vitesse v.
La relation entre v et D est:
KDv2
+ (Dt - C)v + Dl = 0
Nous en déduisons une
équation du second degré qui nous permettra de calculer v:
A première vue il y aurait deux solutions pour la vitesse ?
Mais dans un problème réel il faut tenir compte de la nature des
grandeurs. La vitesse v doit être une grandeur positive !
Le produit des racines de l'équation du second degré donnée est positif,
ce qui indique des solutions de même signe mais encore faut-il que la
somme de ces solutions soit également positive.
Cette somme vaut -(Dt - C)/KD. La condition est donc Dt-C
< 0. A moins d'avoir de très mauvais réflexes, t est très petit
et cette condition sera pratiquement toujours vérifiée.
Mais, au fait, est-on certain que l'équation possède des solutions ?.
Pour vérifier, calculons le discriminant qui doit être positif ou
éventuellement nul:
(Dt - C)2 - 4 KD2l
 0
(Dt - C)2 4
KD2l
et donc comme Dt - C doit être négatif,
Dt
- C  -2D(K/l)
Ce résultat nous permet de calculer le
débit D:
D C/[t +
2(Kl)]
Au mieux on aura le signe d'égalité.
Dmax
= C/[t + 2(Kl)]
Mais dans ce cas, comme le discriminant est nul, l'équation possède deux
solutions confondues et on obtient la vitesse optimale assurant le
débit
maximum:
v =
-(Dt - C)/2KD avec D = Dmax
D’où l'on déduit:
vopt
= (l/K)
On connaît évidemment la longueur l des voitures,
et la constante K peut être calculée en utilisant les données de la
sécurité routière où l'on trouve les distances de freinage en fonction
de la vitesse. Il suffit de se rappeler que nous avions posé ces
distances égales à Kv 2.
Lorsqu'on calcule le résultat numérique, on voit qu'il y a intérêt à
suivre les conseils de "Bison futé", ou alors, à ne pas être pressé !
d'après
un article de Gilles Pagès
Pour nous contacter :
xavier@hubaut.info
© Xavier Hubaut
1995-2005 PS : j’ai essayé de contacter Xavier Hubaut par mail , mais
il ne m’a jamais répondu
De Bernard BORDIER le 26/09/06
Que Va-t-il se
passer si le pont est gratuit
Exposé sur
l'écoulement des véhicules pour accéder à l'île de Ré
RISQUES D'ENGORGEMENT AU PEAGE
PRINCIPE SIMPLE
La superficie des deux entonnoirs se regardant par
la grande base de leur cône est évaluée à
20 000 M² en amont et à 15 000 M² en aval
1
VEHICULE = 12M2
Ceci représente une capacité de stockage d'environ
1700 véhicules en amont et 1250 véhicules en aval.
Ces deux capacités de stockage sont séparées par un
filtre qui est la barrière des cabines de péage.
Le remplissage en amont se fait par le petit
orifice de l'entonnoir qui est égal à une voie
Le débit en aval se fait par l'autre petit orifice
de l'entonnoir opposé qui est égal à une voie
J'ai trouvé sur Internet un exposé remarquable qui
s'appelle :
Bison futé et les
bouchons
Issu d'un article et réalisé par un professeur de
mathématiques Belge , Xavier HUBAUT, qui tente de résoudre les
problèmes de bouchons d'une manière scientifique . Il pose quelques
questions et donne des définitions telles que :
Qu'est-ce que le débit ? C'est le nombre de
voitures qui franchissent une ligne fixe dans un intervalle de temps
T (généralement mesuré en heures).
Conditions du problème :
Tout d'abord on veut avoir un débit maximum,
c'est-à-dire que le plus grand nombre possible de voitures s'évacuent.
Il dit, je cite :
"Une manière de faire est de rouler très vite. Mais
alors le risque de collision augmente. Il faut donc réserver une
distance suffisante entre deux voitures consécutives.
Si les voitures roulent très lentement, cette
distance pourra être fort courte, mais comme la vitesse est faible peu
de voitures s'écouleront.
Donc il faut augmenter la vitesse des voitures,
mais alors augmenter la distance entre elles.
On voit que si on augmente trop la vitesse, comme
la distance de sécurité augmente encore plus, en fin de compte le débit
se ralentira. Il s'agit de trouver la vitesse optimale."
Après une démonstration de calcul avec des
équations du second degré ou un calcul
par dérivées qui pour lui parait plus simple, il en arrive à la
conclusion suivante :
Lorsqu'on calcule le
résultat numérique, on voit qu'il y a intérêt à suivre les conseils de
"Bison futé", ou alors, à ne pas être pressé !
On peut donc dire sans beaucoup de chances de se
tromper qu'il est impossible de réguler et d'améliorer les encombrements
puisque la vitesse est fonction du nombre de véhicules passant par le
filtre et s'écoulant par un orifice calibré lequel donne le débit .
En amont le problème se traduit par une file
d'attente qui s'allonge sur la rocade puisqu'on passe sur une seule
voie.
La conclusion est que de ce côté il ne sert à rien
d'augmenter le nombre de voies d'accès, puisque :
ð
la capacité de stockage est limitée
ð
le filtre du péage ne peut pratiquement pas augmenter son
temps de perception
ð
Le débit est limité par le stockage en aval et le débit de
la voie de sortie unique.
Pour les retours, le péage n'existant pas en sortie
de l’île, il est possible d'améliorer
l’écoulement en doublant les voies en sortie du
pont côté BELVEDERE, ce qui permettrait de désengorger plus rapidement
le rond point de RIVEDOUX
QUESTIONS ET
REMARQUES
R : le record connu de passages est de 15 637
véhicules le jour du 08 Mai 2002 et que la moyenne de passage en période
estivale était en 2003 de 9 865 véhicules /jour
avec un record horaire de 1317 véhicules ( 22
véhicules à la minute)
R: 1317 véhicules
correspondent à la capacité de stockage aval estimée de l'entonnoir
( 1250 Véhicules)
…coïncidence ?
R : En sachant que les
prévisions suivant le graphique de prévision d'augmentation de 2,5 %
donnent à fin 2011 :
ð
un nombre de passages de 3 400 000 de véhicules ANNUEL
Avec l'augmentation en période estivale calculée
sur 60 jours par rapport aux chiffres de 2003 cités plus haut de 9 865
véhicules /jour soit 21, 3 % du trafic annuel on obtiendrait :
ð
un nombre de passages de 15 500 véhicules /jour égal au
record de 2002, l’augmentation de passages entre la moyenne journalière
annuelle et la moyenne journalière estivale est de
+ 29,09% en général.
R : d'après des sources officielles (Monsieur
PERRY) lors de l'application de la gratuité pour le pont d’OLERON le
nombre de passages a augmenté de 30 %
ð
On peut supposer que le nombre de passages sur le pont de
Ré serait de l'ordre de
4 400 000 par an en 2012, soit
12 000 par jour, donc en période
estivale une fréquence journalière de
15 500 véhicules,
Par contre nous sommes incapables de dire comment
se ferait la répartition entre les différentes catégories
Q : Est-ce un point de
saturation qu'on ne peut pas dépasser ?
Q : Cette situation si
elle se révélait exacte serait elle supportable ?
En réalité on peut considérer ces chiffres comme
pessimistes car les graphiques issus des chiffres officiels en notre
possession montrent que l'augmentation des deux dernières années
connues pour 2003 et 2004 sont respectivement de
1,73% et
2,42 %.
J'ai pu obtenir des chiffres en temps voulu de la
direction du pont qui confirment la tendance pour 2004 avec 2,16 % pour
2005 et on peut considérer que la tendance " à la baisse de
l’augmentation " se confirme (voir transparent) qu’en sera t il pour
2006 ?
Ceci tendrait –il à
prouver que le péage se révèle malgré tout dissuasif ?
Quid de la gratuité ? Est-elle vraiment une
calamité
En 1999 le produit des péages était de 119, 437
MF et la part de l'écotaxe était de 2,346 MF soit à peine 2%.
|
